微分積分法を活用する力を養う入門書

『私の微分積分法』文庫版解説

　本書は，戦後の日本を代表する数学者の一人として解析学の分野に大きな足跡を残した著者による，やや異色の微分積分法の入門書である．1981年に講談社からハードカバー本として刊行され本書が，このたび筑摩書房から文庫本の形で復刊されることになった．入門書とはいえ，本書には解析学の大家である著者の個性が随所ににじみ出ており，語りかけるような口調で読者を惹きつける魅力がある．この本が，文庫本という手に入りやすい形でふたたび世に出るのは喜ばしい限りである．

　著者の吉田耕作先生（1909‐1990）は，解析学，とくに関数解析学の分野の国際的な第一人者であり，戦後わが国の数学界の重鎮として，日本の数学の発展に長年にわたり尽力された方である．その業績は多岐にわたるが，とりわけ1948年に発表された線型作用素の半群に関する理論は，今日「Hille‐吉田の定理」として広く知られており，発展方程 式論と呼ばれる新しい分野を生み出して解析学の世界に一つの時代を築いた．著書も多く，シュプリンガー社から出版された“Functional Analysis”（1965年初版）は，関数解析学の名テキストとして世界中で読まれている．

　本書に話を戻そう．この本は，高校で微分積分を習ったことがある読者を対象にした微分積分法の解説書である．高校で習った内容を整理し，より深めて，微分積分法を活用する力を養うことを目指している．また，座標平面と関数のグラフの説明など，中学高校で習う内容の復習も含まれており，高校の微積分を忘れていても，思い出しながら読めるかもしれない．なお，本書では独立変数が一つの場合だけを扱っている．

　本書の特色は，一つはその文体にある．簡潔で理路整然とした教科書風のスタイルでなく，著者が相手に語りかけるような親しみやすい文体で書かれている．読み進めていくと，まるで著者の講義を聴いているような気分になる．さらに内容面での特色として，本書では実数の連続性に依拠した現代流の議論をなるべく使わず，「まえがき」で述べられているように，微分積分の創始者の一人であるニュートンのアイデアに則した説明に重点が置かれている．また，微分積分法の入門書でありながら，単なる微分積分の解説に終わらず，微分方程式や数値計算の記述にかなりのページ数を割いているのも本書の特徴である．

 

本書の内容

 

　本書は，第I編と第II編に分かれている．第I編のタイトルは「関数の変化率から微分積分法の基本定理まで」で，第II編のタイトルは「微分積分法の基本定理の強化と活用」である．第II編は，さらに七つの章に分かれていて，それぞれの章に，II₁ 微分法，II₂ 積分法，II₃ 対数関数と指数関数，II₄ 円周運動と三角関数，II₅ 一次元の力学（振動と回路），II₆数値計算，II₇二次元の力学（軌道と人工衛星）というタイトルがついている．

　第I編は本書全体の基礎をなす部分で，微分と積分の定義や関数の連続性について，歴史的背景を交えた説明があり，最後に微分積分法の基本定理が証明される．

　瞬間速度を一般化して微分の概念に到達したニュートンのアイデアは，多くの高校の教科書にも簡単に取り上げられているが，本書ではこの辺りの経緯が，かなりていねい　第I編の冒頭は，微分積分法の誕生前夜にガリレイが行った落体運動の研究の話で始まる．ガリレイは，多くの実験を重ねて，物体が落下する速さは（空気抵抗を無視すると）その物体の重さによらないこと，そして落下距離が時間の2乗に比例するという法則を発見したが，これは実証科学という，17世紀以降めざましく発展した新しい学問に道を開く画期的な成果であった．本書では次いでニュートンが登場し，彼が考えた「瞬間速度」の概念を用いると，ガリレイの法則は，速度が時間に比例して大きくなるという形で表現できることが示される．そして瞬間速度の概念が，もっと一般の量の瞬間変化率，すなわち微分の概念へと発展するという話に続く．

に説明されている．なお，本書では，関数$f(x)$の平均変化率を「ニュートン商」と呼んで次の式で表している．
\[
f_{\delta}'(a)=\frac{f(a+\delta)-f(a)}{\delta}
\]
このニュートン商を用いると，関数の微分商は
\[
f'(a):=\lim_{\delta\to 0}f'_{\delta}(a)
\]
という形に表すことができる．

　第I編では，この後，連続関数の中間値の定理が証明される．ただしその証明は，グラフを用いた直観的な議論によるものである．また，本書では，いたるところ$f'(x) > 0$なら$f(x)$は増加関数であるというよく知られた事実を，やはりグラフを用いて示している．現代の微分積分法の教科書では，この事実を平均値の定理を用いて証明するのが標準的であり，著者もそのことを指摘しているが，平均値の定理を厳密に証明するには実数の連続性を使う必要性があるので，本書ではこれを避けた旨が書かれている．たしかに平均値の定理を使うと証明は簡単になるが，グラフを用いた証明は直観的でわかりやすい．

　本書では，また，ニュートンは「関数」や「微分」という言葉を使わず，変化する量を流量（fluent）と呼び，その瞬間変化率を流率（fluxion）と呼んだことや，関数や微分という言葉はライプニッツが初めて使ったことなどが述べられている．

　第I編の後半では，関数$f$の積分が，$f$のグラフと$x$軸が囲む図形の面積を用いて定義される．次に，$f$が連続で単調非減少（すなわち広義単調増加）であれば，この面積が確定し，$f$の積分がきちんと定義できることが図を用いてていねいに証明される．実は$f$が単調でなくても，連続でさえあれば積分が定義できるが，それを厳密に示すには一様連続性の概念が必要となる．しかし連続性と一様連続性の区別は初学者には理解しにくいので，そこを誤魔化した説明をすると初学者を惑わす恐れがあるという配慮から，一様連続性を使わなくても厳密な議論ができる単調関数の場合に話をしぼったものと思われる．

　次に$f$の不定積分
\[
\int_a^x f(t)dt
\]
が，やはり面積を用いて定義される．高校の教科書の定義と違うので注意が必要である．面積を用いたこちらの定義が本来の定義である．そしていよいよ最後に，ニュートンとライプニッツが発見した微分積分法の基本定理が証明される．この定理は，英語で“fundamental theorem of calculus”といい，「微分積分学の基本定理」と訳されることも多い．周知のように，この定理は次の二つの主張からなる．
（1）$f$が連続なら$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x)$，

（2）$\displaystyle F'(x) = f(x)$なら$ \displaystyle \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$．
上の（1）は，連続関数$f$の不定積分が$f$の原始関数であることを意味している．（2）は，もし$f$の原始関数が一つでも見つかれば，それを用いて$f$の積分が表されることを意味している．なお，本書では，先に述べた理由から，この定理は区分的に単調な連続関数に対してのみ証明されている．微積分をより一般的な形で学びたい読者には，この点は少々歯がゆいかもしれないが，これは著者の教育的配慮によるものである．必要なら他の教科書で補えばよい．

　微分積分法の基本定理は，面積を計算する操作と，ある量の瞬間的変化率を与える操作が実は互いに逆の操作であることを明らかにした画期的な大発見であり，この定理により，図形の面積を求める統一的な手法が得られただけでなく，ニュートンの運動方程式のような微分方程式の解を積分で求めることが可能となった．積分のルーツである求積の考え方は古来からあり，また，微分の萌芽的アイデアも以前からあったが，この両者が結びついたことにより，微分積分法という新しい学問が生まれ，その後の数学の性格を大きく変えるとともに，17世紀から始まったヨーロッパの科学革命を支える基盤の一つとなった．

　なお，高校の数学の教科書では，積分を面積（区分求積法）で定義せず，不定積分を原始関数と同義語として定義し，定積分を原始関数を用いて上の（2）式で定義している．その後で，定積分と面積との関係を図を用いて簡単に説明するという順序である．微分積分の難しい部分を避けて生徒に受け入れやすくするためであるが，これにより，微分積分法の基本定理の真の意義が高校の教科書では見えなくなってしまっている．

　さて第II編では，最初の二つの章で微分と積分の基本性質について述べている．微分積分の加法性や積の公式など，高校で習った内容の復習も多いが，テイラー展開についての解説も含まれている．

　次にII₃で対数関数と指数関数を，II₄で三角関数を学ぶ．著者は「まえがき」で，「微分積分法を活用する上で最も大切なことの一つは，多項式や有理関数のみならず，対数関数，指数関数および三角関数などのいわゆる初等関数に習熟することである」と書いている．この方針にしたがって，これらの関数について詳しい解説がなされている．高校の数学とやや異なる点は，まず自然対数を積分
\[
\log x =\int_1^x \frac{1}{t}dt
\]
で定義し，その逆関数として指数関数$\exp(y)$を定義していることである．この定義から，対数公式$\log(ab)=\log a+\log b$がすぐに従い，そこから指数公式
\[
\exp(y+z)=\exp(y)\exp(z)
\]
が直ちに得られる．また，この公式から，関数$\exp(x)$が$e^x$というベキの形で表されることがわかる．著者は，自然対数の底$e$の値を電卓で計算してみせている．また，$\log(1+x)$のテイラー展開を用いて
\[
\log 2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots
\]
と書けるのはよく知られているが，この級数の収束は遅いので，テイラー展開を少し変形して得られる次の公式を用いて電卓で値を計算している．
\[
\log 2=2\left\{\frac13+\frac13\cdot\frac{1}{3^3}+
\frac15\cdot\frac{1}{3^5}+\cdots\right\}.
\]
解析学の世界的大家が，自分のポケット電卓でこれらの値をコツコツと計算している姿を想像するのは楽しい．

　第II₅章は微分方程式の話で，ニュートンの運動方程式から導かれる単振動の方程式や，摩擦がある場合の減幅（減衰）振動などの線形方程式の解法が述べられる．

　第II₆章は数値計算を扱っている．まずウォリスの公式を導いた後，スターリングの公式 $n!\sim \sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$ が証明される．スターリングの公式は，2項分布が正規分布に収束することの証明などに使われ，統計力学などの分野で重要な公式であるが，これを初等的な方法で証明するには，かなりの工夫を要する．また，数値積分に関する有名なシンプソン公式の誤差評価の証明もきちんと書かれており，ここまでくると，けっこう読み応えがある．また，著者自身が，これらの公式を用いてポケット電卓で計算した$\pi$や$\log 2$の近似値も載っている．

　第II₇章は，ふたたび微分方程式に戻り，空気抵抗がある場合の弾道の軌跡や，ケプラーの惑星運動の3法則を2体問題の微分方程式から導く話が載っている．後者は非線形の方程式である．ニュートンは，大著『プリンキピア』で高い所から水平に発射された物体は，初速がじゅうぶん大きいと地球を回る軌道を描き，さらに大きな初速を与えると，二度と地球に戻ってこないことを述べている．つまり地球を周回する人工衛星の可能性を300年以上前に予言していたわけで，本書にはこうした話も載っていて面白い．微積分の入門書で，微分方程式の定性的理論まで論じている本は，稀少といえよう．

　微分積分法が生まれた当時は，その根底にある極限や瞬間変化率の概念は哲学的に難解であり，また，ライプニッツが用いた無限小という言葉も意味があいまいであった．このため，微分積分法そのものの論理的正当性を疑い，その考え方をきびしく批判する人は少なくなかった．微分積分法の発展の礎を築いたニュートンやライプニッツでさえ，その基本概念の意味をきちんと説明することはできなかったのである．そもそも，17世紀の当時は，はっきりした関数概念すら芽生えていなかった．初期の頃は，関数といえば特定の具体的な式で書けるものだけを意味したのである．関数の概念は，時代とともに次第に成熟していき，19世紀に入ると，ようやく極限の概念が明確に定義され，連続関数の概念も現れた．しかし実数の本質が明らかにされ，微分積分法の基礎概念が整備されて現在の形に近づくのは19世紀後半から20世紀初めにかけてのことである．この辺の経緯は，『関数とは何か――近代数学史からのアプローチ』（岡本久・長岡亮介著，近代科学社）に詳しく述べられている．この本は，二次資料だけでなく，膨大な数の原典を精査して書かれた出色の数学史の論考であり，一読をお勧めする．

　このように，微分積分法の論理的基盤が完成するまでにニュートン，ライプニッツの時代から優に200年を要したが，そうした概念的整理ができあがる以前から，微分積分法はベルヌーイやオイラー，ラクランジュ，ラプラスら多くの人たちの手を経てめざましく発展し，解析学の豊かな世界が形成されていった．その豊かな世界を知り，そこから果実を得るためには，単に一般論の論理的な整合性に魅せられるだけでは不十分で，身近な関数の扱いに習熟し，自分でいろいろな計算をしてみることが大切である．本書には，著者のそうしたメッセージが強く込められている．