ちくま学芸文庫

ロジックの世界は、広がり続けている

『数学基礎論』解説

1月刊行のちくま学芸文庫『数学基礎論』(前原昭二・竹内外史著)より、田中一之氏による解説を公開いたします。「不完全性と決定不能性」、「自然数論の無矛盾性証明」など本書で紹介されているいくつかのトピックについて、そして「数学基礎論」とは何かについて、本書を読むためのアドバイスを交えつつ解説します。

 本書は,1990年以来数年間繰り返しラジオ放送された放送大学の同名講義の教科書を,文庫サイズに組み直したものである.講師は,日本を代表する数学基礎論の研究者である故・前原昭二先生と竹内外史先生で,全15回(1回45分)のうち前半10回は前原先生が数学基礎論の「生い立ち」について講じられ,後半5回は竹内先生が比較的新しい研究の話を紹介された.
 まえがきによると,「特別な予備知識を仮定せずに(中略)一般読者のための入門書としても役立ち得るもの」になっているので,今回ちくま学芸文庫に収録されることにより,その意向が一層生かされる形で蘇ったことになる.とはいえ,かなりユニークな内容の入門書である.前原先生は数学基礎論がどのような問題意識から生まれてきたかというこの分野の入口付近の様子を語り,竹内先生はこの分野がどのように応用されているかという出口付近の話をされる.つまり,内省的な印象の強いこの学問分野に対して,両大家はあえて外側の活動面を描いてみせたのである.それは,この分野のあり方への問題提起でもあった.
 以来30年近い年月を経て数学基礎論は大きく発展し,新しい話題もつぎつぎに生まれているが,本書はいま読んでも躍動感のある秀逸な入門書である.ただ,インターネットも携帯も普及していないのんびりした時代の共同体的な知識は,大量の情報と多様な価値観に囲まれている忙しない現代人には咀嚼しにくい向きがあるかもしれない.例えば,本書前半の重要テーマは「1階論理」のはずだが,本文では「数学的推論の形式化」というだけでその論理が何かとは明示していない.しかし,情報科学等の普及から様々な論理が出回る現況では,それが「1階(古典)論理」であると認識しておくことこそ肝要である.
 本書の読み方にもいろいろあって良いと思うのだが,以下の解説では,現在の数学基礎論(一般に「ロジック」と呼ばれる)への接続を考えた際に懸念されるような注意点に絞って述べてみたい.これは私個人の見解であり,本書の意図とは必ずしも一致しないのでここで本を閉じて下さって構わないのだが,もしもどこか一点でも読者諸賢のロジック理解に役立つなら望外の幸せである.

数学基礎論とは何か?
「数学基礎論は20世紀とともに始まった新しい数学の分野であり,初等中等教育における数学のなかにはその原始的形態すら見いだすことができない」とまえがきにある.ただ,「数学基礎論」が何を指すのかはあまり明確にされていないように思う.少なくとも本書前半の山場は10章のゲンツェンの無矛盾性証明(1936年)になるだろうが,数学基礎論は以前に成立している.
 ヒルベルトとベルナイスの古典的名著『数学基礎論』(第1巻,1934年)の冒頭には,この分野が次の3つの研究成果の上に成り立っていると述べられている.

 1.幾何学基礎論に代表される公理的方法
 2.算術化による解析学の基礎付け
 3.算術と集合論の基礎論的研究

 1については,19世紀末のヒルベルトの研究が有名であるが,公理的方法自体は古代ギリシャのアリストテレスやユークリッドに遡れる.2に関しては,19世紀のコーシー,ワイエルシュトラス,そしてカントルらの研究がよく知られる.3に対する最大の貢献者は19世紀のフレーゲであると思うが,その名は本書に登場しない.
 1936年に誕生したロジック初の専門誌「Journal of Symbolic Logic」の第1巻には,この分野の過去の全文献と称する目録が載っており,それは1666年のライプニッツの『結合法論』で始まる.したがって,ライプニッツを現代ロジックの始祖と考える人は多いだろう.もっともそれは「ロジック」であって,「数学基礎論」ではないといわれるかもしれないが,現在ロジックの専門誌は世界に10くらいあるのに,「数学基礎論」の名の付くものは1つもないから,数学基礎論の独自性を訴えることにはあまり意味はなさそうである.

集合論は数学の基礎か?
 1,2章では,数学の基礎として集合論とその公理系ZFが解説されている.集合論は数学にとって必要不可欠な言葉であり,またある程度普及もしているから,これを最初に取り上げることはうなずけるし,説明も要を得てわかりやすい.ただ,この後の章で数学全体を公理的集合論に還元させる思想が垣間見られることにはやや戸惑いを覚える.後の14章で説明されるように公理的集合論は決して盤石不動ではないし,「集合」を使って数を定義しても数学の世界が見やすくなるわけではないからである.さらに,14章の議論から明らかなように,集合論にとって重要なのは演繹体系ではなく,そのモデルの性質である.個人的な感想としては,8章の自然数論の演繹体系をもっと早めに導入して,数学的帰納法の役割などについて説明していただきたかった.

数学的推論の形式化
 3,4,5章では自然演繹体系NKが,そして8章ではLKと呼ばれる体系が導入されるが,それらが「1階論理」の形式化であるという説明はない.数学の議論全般を形式的に記述するためにフレーゲが創出した述語計算から,1つの数学的構造を記述するための仕組みとしてヒルベルトが抜き出したのが1階論理(狭義関数計算)である.それは,その構造の要素を動く変数のみを持っていて,要素の集合を動く変数は持たない.例えば,頂点と辺からなるグラフ構造を対象とすれば,2つの頂点が(固定した)長さnの道で繋がっていることは1階論理で記述できるが,(どんな長さでもよい)道で繋がっていることは2階論理でないと記述できない.1階論理は数学的にもこのような制約のある論理であるが,ヒルベルトはその有用性に注目して,証明可能性と恒真性が一致するかという問題を提起した.それに肯定的な答えを与えたのがゲーデルの完全性定理(1930年)である.この定理は,それ以前のレーベンハイムやスコーレム,それ以降のタルスキやヘンキンらの仕事を伴って「モデル理論」という大きな流れを形成することになる.それについて,本書では最終章に一言触れられるだけである.

不完全性と決定不能性
 6,7章では,ゲーデルの不完全性定理(1931年)が解説される.自然数論が後の8章で導入されるため,ここではZF集合論に対しての不完全性定理が述べられる.しかし,ZF集合論の不完全性をいうなら,たとえば選択公理や連続体問題のような例をその根拠にするのが相応しいだろう.本来,ゲーデルの(第一)不完全性定理は公理的方法によって真偽判定できない算術命題があることを示したものである.この定理は何より,ヒルベルトが「数理論理学の主問題」と呼んだ決定問題に対する挑戦であったことに注意しておきたい.この問題に対する完全な否定解答は1936年にチャーチとチューリングによって与えられたが,彼らの結果とそれに先立つゲーデルの仕事は計算機科学を生み出すきっかけにもなっている.

自然数論の無矛盾性証明
 8章で形式的自然数論が導入され,9章でその無矛盾性証明の意義が語られ,10章でその証明のアイデアが述べられる.ゲンツェン流の証明論としては,クライマックスになるところであるが,この簡単なアイデアだけで議論の全容を想像するのはとても難しい.別の難点として,7章まであえてZF集合論をベースに議論を展開し,ゲーデルの第二不完全性定理さえも ZF集合論の無矛盾性が証明できないという主張として述べていることがある.ZF集合論では,自らの無矛盾性は証明できなくても,自然数論をはじめ,多くの体系の無矛盾性をゲンツェンの方法によらずにモデルを構成して簡単に示すことができる.それで何が問題なのかというと,要するに,集合論が盤石な基礎になっていないからなのであるが,そうすると7章までの議論を振り返って混乱しそうなところである.

非古典論理
 担当が竹内先生に変わり,11章で直観(主義)論理,12章でファジー論理について述べられる.10章までの古典論理の特徴づけがあまり明確でなかったため,これら非古典論理の特徴もややわかりにくいかもしれない.直観主義論理は演繹体系として扱われ,8章の古典論理と重複する扱いが多い一方,ファジー論理は意味論的に定義され,対応する古典論理の議論はなかった.ふつうに考えると,最初から非古典論理を1階論理の枠組みで導入するのはかなりハードルが高いはずだが,それを簡単そうにさらっと語るのが竹内先生の特技であろう.

計算論
 13章は,計算可能関数の定式化と,限定算術による計算量理論の問題を扱う.計算不可能な関数の存在を示しているので,それと不完全性定理(決定問題)との関係にも触れてもらえるとよかった.そうすれば,なぜ計算論が数学基礎論なのかが腑に落ちると思う.限定算術の話は大変難解だが,このような形で計算量理論と演繹体系が結びつくという発見は,数学基礎論の将来に希望を抱かせるものである.

数学基礎論の課題
 14章では集合論の課題,15章ではさらに一般的な数学基礎論の展望が語られる.とくに14章では,巨大基数が導入され,その存在を仮定しても連続体問題のような命題の真偽が決定できないことが述べられている.15章では,自然数論の無矛盾性に比べて,集合論の無矛盾性を示すことが難しいことが述べられているが,この本は集合論から始まっているためにその意義が理解しにくいことは上でも指摘した.最後に,基礎論の目的が基礎付けだけではなく,数学の構造についての研究に広がっていることが語られ,そういう広がりの中で人工知能との関係における数学基礎論の有用性が主張されている.これまでも数学基礎論は演繹体系や計算論の応用を通じて人工知能の発展に寄与してきたが,最近は人間の多様な知的活動に対するロジックの研究も進んでいるから,今後さらなる応用を模索しながら数学基礎論は一層の深化を遂げるであろう.

おわりに
 私は著者の両先生より一世代下であり,学生時代に両先生の授業を何度か聴講させていただいた.この放送の頃には新米助教授で,自分の講義に役に立つのではないかとラジオに耳を傾けていたことを懐かしく思い出す.この解説は,両先生の学恩に報いる気持ちでお引き受けし,最近のロジックの視点から若干の言葉を加える程度のつもりで書き始めたのだが,つい悪学生の頃の気分で調子に乗って書き過ぎたかもしない.失礼の段どうかお許し願いたい.

参考文献
[1] D.Hilbert and P.Bernays, Foundations of Mathematics I, Part A: Prefaces and §§1-2, College Publications, U.K.(2011).ヒルベルトとベルナイスの不朽の名著『数学基礎論1』(1934, 1968)の§§1-2の独英対訳に詳しい解説をつけている.別に日本語の抄訳(吉田夏彦・渕野昌訳『数学の基礎』,シュプリンガー・フェアラーク東京,1993)もあるが,初等算術と有限の立場を説明した§2は含まれていない.
[2] Gaisi Takeuti, Proof Theory, 2nd ed., 1987年(Dover社版2013).初版(1975)では話題をゲンツェン流の証明論に絞っていたが,第2版では逆数学などの新しい話題を取り上げ,証明論の魅力をさらに引き出すことに成功している.
[3] 田中一之著,述語論理入門,『ゲーデルと20世紀の論理学』第2巻,東京大学出版会,2006.1階論理に関する様々な形式化を比較解説した.
[4] 田中一之著,『ゲーデルに挑む』,東京大学出版会,2012.ゲーデルの不完全性定理の原論文を読むための必携マニュアル.全文を逐語的に徹底解説した.
[5] ガワーズ編『プリンストン数学大全』(朝倉書店,2015)の項目「集合論」(J. バガリア著,pp. 683-704)は,集合論の基礎から先端研究までを広くカバーする.同じく項目「ロジックとモデル理論」(D. マーカー著,pp. 704-717)は,モデル理論からのロジック入門.