ちくま学芸文庫

高校数学のおさらいから、抽象数学の世界へ

『代数入門』解説

「水道方式」の提唱者としても知られ、戦後日本の数学教育に大きな足跡を残した遠山啓。『代数入門:数と式』は彼が生前書いた最後の著書で、高校数学の入り口でもある「数と式」を、著者ならではの平易な語り口で語っています。本書の概要と特色について書かれた、小林道正氏による「文庫版解説」を公開します。

 本書は,元々は,『数と式――代数入門(リフレッシュ数学1)』として,1980年に講談社から発行された本である.今回,この名著が,筑摩書房のはからいで,「ちくま学芸文庫」に加えられたことは,まことに喜ばしいことである.さらに広い読者に読まれることが期待され,遠山先生も喜んでおられることであろう.
 遠山啓先生の著書が「ちくま学芸文庫」に登場するのはこれが3冊目である.すでに,『代数的構造』と『現代数学入門』が収録されている.学習の順序としては,この2冊の前に本書を読まれるのがお薦めである.
 著者の遠山啓先生については,既にご存知の方が多いと思われるが,簡単に紹介しておこう.遠山先生は1909年に生まれ,1979年に,70歳で亡くなられた.数学者であり,東京工業大学の教授であった.数学教育の分野でも大活躍された.戦後の子供たちの学力低下を憂い,またアメリカの押し付けの生活単元学習に反対して,1951年に同志と共に「数学教育協議会」を設立し,長年にわたりその委員長として指導的な役割を果たされた.中でも,「水道方式」と「量の理論」は,小学校の算数に革命的な進歩をもたらした.それらの理論はその後も進化・発展し続けており,現在でも多数の小学校の現場で活用されている.その考えは文部科学省検定の現行の教科書にもたくさん反映されている.数学教育協議会は,遠山啓先生以後も,民間の教育研究団体として,戦後の数学教育において,大きな影響を及ぼしてきている.月刊の雑誌『数学教室』も,一時的休刊はあっても60年以上発行し続けてきている.水道方式や量の理論は,後で具体的に紹介するように,本書にも十分活かされている.
 「代数」というと,普通は抽象代数の「群・環・体」などを扱うことが多いが,本書は「代数入門」であり,副題にもあるとおり,「数と式」を扱っている.群・環・体の具体例である,数(自然数・整数から複素数まで)を扱っている.「群・環・体」に関する遠山先生自身の著作としては,同じ「ちくま学芸文庫」の,『代数的構造』をお薦めしたい.
 「数と式」はまた,高等学校の1つの領域であるが,本書は,高等学校の「数と式」から入って,連続して,高等学校の内容をより発展させた,より高度な「数と式」を扱っている.

 以下,本書の構成に従って解説をしておこう.

 本書は4つの章から成り立っているが,各章がそれ以前の章を前提にしており,有機的に結びついている.どの章も独立に読まないほうがよい.はじめに,「数」について,次は,文字式を扱う際に不可欠な組合せ論が説明される.それらの内容を駆使して,すべての数を代表するという「文字」について説明される.文字式が出てくると必然的に方程式が現れてくる.方程式の入門の後,最後の章でいろいろな方程式,一般的な方程式が解説されている.というわけで,本書を読むには章の順に進むことをおすすめしたい.

1 数の進化

 ここでは,数の発生とその進化について,発生から進化の過程が解説されている.内容は,数概念の発生,数詞,自然数,整数,整数論初歩,約数,素数,素因数分解,数学的帰納法,素因数分解の一意性,有理数と無理数,実数,複素数,数の拡大,と展開されていく.
 文章はなめらかで,ごく自然に読みやすく記述されているが,水道方式や量の理論を作り出した遠山先生の根本的思想が展開されている.すなわち,数の導入は,順序数でなく集合数から導入するべきであり,数概念は,「一対一対応」を基礎として発生してきたということが解説されている.数の導入は集合数から始めるべきであるというのは数学教育の認識論的命題であるが,これは歴史的発展にも合致しているし,論理的な展開からも主張出来ることを見事に解説している.
 数概念発生の「一対一対応」は,その後,無限集合の濃度を判定する基準として,現代数学まで一貫して保持されている重要な概念となっているのである.
 この章の特徴をいくつか挙げると,「負の数の計算規則」を説明するのに,トランプの黒札と赤札を用いて,プラスの数とマイナスの数を表して説明する方法が紹介されている.これも水道方式と同様,数学教育協議会でその有効性が実践で示されてきた方法である.また,マイナスの数をかけると,反数になり,数直線上では180度回転するというのは,後で複素数の導入で活かされることになる.2乗するとマイナス1となるというのは,2回転で180度回転するのだから1回かけると90度回転すると考えて,複素数平面(ガウス平面)が自然に導入される契機となる.複素数平面は虚数が実体を持った概念であることを説明するのに必要不可欠であるが,文部省・文部科学省は高等学校の学習指導要領から,削除と導入を繰り返してきた不合理な歴史がある.数学的に当然とはいえ,検定教科書と異なり,本書では虚数の導入時点から複素数平面を導入している.
 数の拡大として,複素数からさらにはハミルトンの四元数まで紹介されている.ただし,「乗法の交換法則の成立する複素数より広い数体は存在しないことが分かっている」と結ばれていて深入りはしていない.
 「数の進化」は,全体として気楽に読めるように書かれているが,数学としての厳密性も保たれていて,普通は証明無しで使われる「素因数分解の一意性」などにもきちんとした証明がなされている.理工系の大学の学生でもきちんと理解するのは易しくはない.

2 組合せ論

 高等学校では,順列や組合せを学ぶ組合せ論は,確率・統計の一部あるいは準備として位置づけられていることが多い.しかし,確率論の大事な概念である,「多数回の試行における相対頻度の安定性,確率の基本法則」と,順列組み合わせは何の関係もないのである.等確率という特殊な場合を扱い,それに関連した問題を考えるときにだけ順列組合せの計算が必要になるだけなのである.
 本当は,物の数え方を示す組合せ論は,すべての数学を扱う際の基本的な事項なのである.数や文字式を扱う際にも重要な計算手段を与えてくれる.そのような見地から,本書では一章を設けて組合せ論を説明しているのである.この点も,本書の特徴の1つになっている.
 「組合せ論」では,高等学校で扱われる普通の順列・組合せの話題,二項係数や二項定理(数式の展開において組合せ論は不可欠な道具である),重複組合せ,多項定理,乱列などが解説されている.
 説明の道具として共通に使われるのは,樹形図であり,樹形図を,箱に何が入るかで図示していてわかりやすくなるように工夫されている.初めに重複順列から始め,普通の順列にスムーズに入っていく.続いて,「同じものを含む順列」が一般論まで扱われる.重複組合せの公式を導くのに,例えば「4人の生徒に5冊のノートを分ける」場合,普通と同じように,「5冊のノートを並べておいて,3枚の仕切りを入れる」問題に帰着させるのであるが,普通は,5冊のノートを表す記号○などとまったく異なる縦線|を区切りに入れたりするが,本書ではともに同じ正方形で表し,3個の仕切りを表す正方形を用い,少し灰色にしているだけである.組合せの公式は,同質の物から選ぶ方法の数を表す公式なので,同質の正方形の方が自然なのである.このように,細かい点でもわかりやすさを優先していろいろな工夫がなされているのが本書の特徴でもある.
 さらに,「パスカルの数三角形」に関する事実がいくつか証明されていく.プロ野球の日本シリーズの勝敗の組合せ数なども例題として扱われていて,日常生活と数学の接点にも配慮されている.フィボナッチ数列についても詳しく述べられ,植物の葉序との関係にも言及されている.単なる数学の専門書とは異なり,読者が興味を持つ,自然や社会との関連にも触れられている点が名著の理由ともなっている.最後は,「乱列」について解説されている.「乱列」は遠山先生の命名であるが,「完全順列」とか,「攪乱順列」とも呼ばれ,ある数の列において,すべての要素の順番を変えてしまう置換のことである.乱列の総数を求める例題もあり,解答(証明)も詳しくのっている.

3 文字の数学

 数学を表現するのには,英語やギリシャ語の文字は不可欠ではあるが,一般の方に近寄りがたい印象を与えているのも事実である.「数学における文字は何を表しているのか」をはっきりさせると数学も親しみやすくなるだろう.文字の表すものとしては,「未知の定数」,「一般の定数」,「変数を表す文字」の3つがあるが,本書は「代数入門」なので,未知の定数としての文字と,一般の定数としての文字の役割が解説されている.方程式とそこに現れる「未知の定数」としての文字について,遠山先生がいつも使われる,空箱を用意し,空箱の中に何が入るかで説明している.また,一般の定数としての文字は長方形の面積を表す公式から説明している.
 数学の「代数」に登場する文字は,「有理数,実数,複素数,等を代表する」と説明している.言い換えれば,数学の「代数」における文字についての法則は,全ての数についての一般論なのであると説明されている.
 この章では,単項式,多項式,同次多項式,多項式の除法,(t+c)についての展開,最大公約式,などが説明された後,多項式と方程式において,代数方程式の根(解),剰余の定理,因数定理,根と係数の関係,が説明されていく.さらに「補間法」があった後,代数の範囲内での多項式の微分が述べられ,最後は,2次式,3次式,4次式の因数分解の一般論が展開されていく.整数係数の多項式に因数分解できない多項式を「既約」というが,入門書としては高度な,「アイゼンシュタインの既約判定条件」までもが紹介され,証明もなされている.なかなか難しいが,「読者よ,若者よ,挑戦せよ」と激励されているのであろう.

4 種々の方程式と多項式

 はじめに「1の累乗根」が扱われる.いわゆる,円分方程式$x^n =1$の解についてである.
 易しい3乗の場合から丁寧な説明が始まる.次に一般の累乗根が解かれていく.$x^2 =a+bi$という易しい例から始めているのでわかりやすい.一般の$x^n =a+bi$は,例題として詳しい解が与えられている.これを因数分解に応用し,「2変数の2次同次式は複素数を用いれば必ず因数分解される」ことを説明し,2次の多項式でも同次式でないと必ずしも因数分解されないとか,3変数になると,同次式でも因数分解されることは稀になってくると説明されている.続いて,係数の順序を逆にしても同じ式になる「相反方程式」について,いくつかの具体例の方程式を解いている.
 次は,「3次方程式」について,有名な「カルダノの公式」が導かれ,この公式を使った3次方程式を解く例題がいくつも並んでいる.3次方程式の根が最終的には実数になったとしても,解を求める途中の計算では複素数が必要になることを示し,複素数の有効性を説明している.
 最後は「ガウスの代数学の基本定理」である.すなわち,「n次の代数方程式は,必ずn個の複素数の根を持っている」という定理である.18世紀までの数学での大きな問題の1つであったが,ガウスが大学の卒業論文で証明してみせたという逸話も紹介されている.
 証明は8ページにわたって書かれている.この証明をたどるだけで大変であるが,読者は挑戦してほしい.もちろん証明はスキップする人がいてもかまわないが.
 本書の最後は,「ベルヌーイの多項式と差分方程式」に充てられている.ベルヌーイ多項式とベルヌーイ数については,本書の定義は元々のベルヌーイの定義に従っており,今日,普通に見られる定義とは異なるので注意が必要である.すなわち,本書では,ベルヌーイ多項式は,高校数学(kk=1,2,3の場合)でもお馴染みの,べき乗和で定義されている.

\[ B_k (n)=1^k +2^k +\cdots +(n-1)^k +n^k \]

さらに,「円分多項式」について解説されている.

まとめ

 本書は,元の版が発行されてから30年以上もたっているが,少しも古さを感じさせない.代数入門という性格から当然ではあるが,代数の入門書として,その輝きを失っていない.
 遠山先生が数学教育と深くかかわってこられた考え方や精神が本書全体にいきわたっている.すなわち,「できるだけたくさんの人に数学の面白さをわかってほしい,丁寧に,教え方を工夫しさえすれば,誰でも理解できるものだ.教え方を工夫していこう」,というお考えがにじみ出ている.遠山先生も,本書を手始めにして,さらに進んだ分野へと進んでほしいと願っているのであろう.同じ遠山先生の著書がこの「ちくま学芸文庫」にも収録されている.本書に続いて,『代数的構造』『現代数学入門』に挑戦していただきたい.
 本書には,ところどころに,数学者などの逸話が紹介されているのも楽しいし,問や練習問題の解答が詳しく載っているのもありがたいことである.
 この名著を「ちくま学芸文庫」に収録するという英断をされた,筑摩書房に感謝したい.

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